حل تمرین صفحه 23 ریاضی یازدهم

## الف) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = 5$ **شرط**: $x \neq 0$ و $x \neq 2$. ک.م.م: $x(x - 2)$. $$x - 2 + x = 5x(x - 2)$$ $$2x - 2 = 5x^2 - 10x$$ $$5x^2 - 12x + 2 = 0$$ $$\Delta = (-12)^2 - 4(5)(2) = 144 - 40 = 104$$ $$x = \frac{12 \pm \sqrt{104}}{10} = \frac{12 \pm 2\sqrt{26}}{10} = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$$ **جواب‌ها**: $x = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}$ و $x = \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$. (هر دو قابل قبولند). --- ## ب) $\frac{10}{r} - \frac{15}{r^2} = \frac{20}{3r}$ **شرط**: $r \neq 0$. ک.م.م: $3r^2$. $$3r^2 \left[ \frac{10}{r} - \frac{15}{r^2} \right] = 3r^2 \left[ \frac{20}{3r} \right]$$ $$30r - 45 = 20r$$ $$10r = 45 \Rightarrow r = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$$ **جواب**: $r = 4.5$. --- ## پ) $\frac{2x}{x - 3} + \frac{x + 1}{x + 4} = \frac{x - 1}{x - 3}$ **شرط**: $x \neq 3$ و $x \neq -4$. معادله را با انتقال جملات دارای مخرج مشترک ساده می‌کنیم: $$\frac{2x}{x - 3} - \frac{x - 1}{x - 3} = -\frac{x + 1}{x + 4}$$ $$\frac{2x - (x - 1)}{x - 3} = -\frac{x + 1}{x + 4}$$ $$\frac{x + 1}{x - 3} = -\frac{x + 1}{x + 4}$$ $$\frac{x + 1}{x - 3} + \frac{x + 1}{x + 4} = 0$$ از $x + 1$ فاکتور می‌گیریم: $$(x + 1) \left[ \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 4} \right] = 0$$ * **حالت اول**: $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$. * **حالت دوم**: $\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 4} = 0$. ک.م.م: $(x - 3)(x + 4)$. $$x + 4 + x - 3 = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{2}$$ **جواب‌ها**: $x = -1$ و $x = -\frac{1}{2}$. (هر دو قابل قبولند). --- ## ت) $\sqrt{t + 4} = 3$ **شرط**: $t + 4 \ge 0 \Rightarrow t \ge -4$. طرفین را به توان دو می‌رسانیم: $$t + 4 = 3^2 \Rightarrow t + 4 = 9 \Rightarrow t = 5$$ **بررسی**: $\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$. درست است. **جواب**: $t = 5$. --- ## ث) $k = \sqrt{6k} - 8$ **شرط**: $6k \ge 0 \Rightarrow k \ge 0$. همچنین چون $\sqrt{6k} = k + 8$ و جذر نامنفی است، پس $k + 8 \ge 0 \Rightarrow k \ge -8$. (با شرط اول ترکیب می‌شود: $k \ge 0$). عبارت رادیکالی را تنها می‌کنیم: $$\sqrt{6k} = k + 8$$ طرفین را به توان دو می‌رسانیم: $$6k = (k + 8)^2 \Rightarrow 6k = k^2 + 16k + 64$$ $$k^2 + 10k + 64 = 0$$ $$\Delta = 10^2 - 4(1)(64) = 100 - 256 = -156$$ چون $\Delta < 0$ است، این معادلهٔ درجه دوم ریشهٔ حقیقی ندارد. **جواب**: معادله جواب حقیقی ندارد. --- ## ج) $\sqrt{x} + x = 6$ **شرط**: $x \ge 0$. عبارت رادیکالی را تنها می‌کنیم: $$\sqrt{x} = 6 - x$$ **شرط دوم**: چون $\sqrt{x} \ge 0$، پس $6 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6$. (شرط کلی: $0 \le x \le 6$). طرفین را به توان دو می‌رسانیم: $$x = (6 - x)^2 \Rightarrow x = 36 - 12x + x^2$$ $$x^2 - 13x + 36 = 0$$ از تجزیه استفاده می‌کنیم: $$(x - 4)(x - 9) = 0$$ $$x_1 = 4, \quad x_2 = 9$$ **بررسی جواب‌ها**: * $x_1 = 4$: در شرط $0 \le x \le 6$ صدق می‌کند. $\sqrt{4} + 4 = 2 + 4 = 6$. **قابل قبول**. * $x_2 = 9$: در شرط $x \le 6$ صدق نمی‌کند. $\sqrt{9} + 9 = 3 + 9 = 12 \neq 6$. **غیرقابل قبول**. **جواب**: $x = 4$. --- ## چ) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{2x - 5} = 1$ **شرط**: $x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. و $2x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2.5$. (شرط کلی: $x \ge 2.5$). یک عبارت رادیکالی را تنها می‌کنیم: $$\sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{2x - 5}$$ طرفین را به توان دو می‌رسانیم: $$x + 1 = 1^2 + 2(1)\sqrt{2x - 5} + (\sqrt{2x - 5})^2$$ $$x + 1 = 1 + 2\sqrt{2x - 5} + 2x - 5$$ $$x + 1 = 2x - 4 + 2\sqrt{2x - 5}$$ عبارت رادیکالی را دوباره تنها می‌کنیم: $$5 - x = 2\sqrt{2x - 5}$$ **شرط دوم**: چون سمت راست نامنفی است، پس $5 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 5$. (شرط کلی: $2.5 \le x \le 5$). طرفین را به توان دو می‌رسانیم: $$(5 - x)^2 = (2\sqrt{2x - 5})^2$$ $$25 - 10x + x^2 = 4(2x - 5)$$ $$x^2 - 10x + 25 = 8x - 20$$ $$x^2 - 18x + 45 = 0$$ از تجزیه استفاده می‌کنیم ($P=45, S=-18$): $$(x - 3)(x - 15) = 0$$ $$x_1 = 3, \quad x_2 = 15$$ **بررسی جواب‌ها**: * $x_1 = 3$: در شرط $2.5 \le x \le 5$ صدق می‌کند. $\sqrt{3 + 1} - \sqrt{2(3) - 5} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$. **قابل قبول**. * $x_2 = 15$: در شرط $x \le 5$ صدق نمی‌کند. $\sqrt{15 + 1} - \sqrt{2(15) - 5} = \sqrt{16} - \sqrt{25} = 4 - 5 = -1 \neq 1$. **غیرقابل قبول**. **جواب**: $x = 3$. --- ## ح) $x\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m}} = 2$ **این معادله از نظر متغیر مبهم است**؛ فرض می‌کنیم $m$ متغیر و $x=1$ (بر اساس شباهت به معادلات قبلی). اگر $x$ متغیر و $m=1$ باشد، معادله $x + 1 = 2$ و $x=1$ است. اما با فرض $m$ متغیر: **شرط**: $m > 0$. ک.م.م: $\sqrt{m}$. طرفین را در $\sqrt{m}$ ضرب می‌کنیم: $$x(\sqrt{m})^2 + 1 = 2\sqrt{m}$$ $$xm + 1 = 2\sqrt{m}$$ برای یافتن $m$، باید $x$ مشخص باشد. چون $x$ در معادله حضور دارد و مقداری برای آن داده نشده، نمی‌توان به جواب عددی رسید. **اگر هدف نمایش راه حل کلی باشد:** $$xm - 2\sqrt{m} + 1 = 0$$ با قرار دادن $u = \sqrt{m}$ ($u \ge 0$): $$xu^2 - 2u + 1 = 0$$ این یک معادله درجه دوم بر حسب $u$ است. ریشه‌ها به $x$ وابسته خواهند بود. $$\Delta = (-2)^2 - 4(x)(1) = 4 - 4x$$ برای ریشهٔ حقیقی، $\Delta \ge 0 \Rightarrow 4 - 4x \ge 0 \Rightarrow x \le 1$. $$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4x}}{2x} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - x}}{x}$$ $$m = u^2 = \left( \frac{1 \pm \sqrt{1 - x}}{x} \right)^2$$ **اگر $x=1$ باشد (ساده‌ترین فرض)**: $$m + 1 = 2\sqrt{m}$$ $$m - 2\sqrt{m} + 1 = 0$$ $$(\sqrt{m} - 1)^2 = 0 \Rightarrow \sqrt{m} = 1 \Rightarrow m = 1$$ **جواب (با فرض $x=1$)**: $m = 1$. **جواب (در حالت کلی)**: $m = \left( \frac{1 \pm \sqrt{1 - x}}{x} \right)^2$, به شرط $0 < x \le 1$.